#### 1215,51 $Frage: Gegeben sei, dass \( f(x^2 + 2) = 3x^4 + 12x^2 + 7 \), finde \( f(x^2 - 2) \).
["Titel: So findest du ( f(x^2 - 2) ) – Eine elegante Lösung mit Umrechnung\nSchema: 1215 · 51 – Funktionsumkehr und Substitution meistern", "---", "### Gegeben:\nDu kennst die Funktionswert-Relation\n[\nf(x^2 + 2) = 3x^4 + 12x^2 + 7\n]\nZiel: Bestimme den Ausdruck für ( f(x^2 - 2) ).", "---", "### Schritt 1: Verstehe die gegebene Funktion\nDie Funktion ( f ) ist keine direkte Abbildung von ( x ), sondern von ( x^2 + 2 ). Um ( f(t) ) für ein ( t ) zu finden, ersetzen wir ( x^2 + 2 ) durch ( t ).", "Setze:\n[\nt = x^2 + 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = t - 2\n]", "Dann berechnen wir ( x^4 ):\n[\nx^4 = (x^2)^2 = (t - 2)^2 = t^2 - 4t + 4\n]", "Nun setzen wir in die gegebene Funktionsform ein:\n[\nf(t) = 3x^4 + 12x^2 + 7 = 3(t^2 - 4t + 4) + 12(t - 2) + 7\n]", "---", "### Schritt 2: Vereinfache den Ausdruck\n[\nf(t) = 3(t^2 - 4t + 4) + 12(t - 2) + 7\n]\n[\n= 3t^2 - 12t + 12 + 12t - 24 + 7\n]\n[\n= 3t^2 + ( -12t + 12t ) + (12 - 24 + 7)\n]\n[\n= 3t^2 - 5\n]", "Ergebnis:\n[\nf(t) = 3t^2 - 5\n]", "---", "### Schritt 3: Bestimme ( f(x^2 - 2) )\nSetze ( t = x^2 - 2 ) in die Funktion ein:\n[\nf(x^2 - 2) = 3(x^2 - 2)^2 - 5\n]", "Berechne den Term:\n[\n(x^2 - 2)^2 = x^4 - 4x^2 + 4\n]\n[\nf(x^2 - 2) = 3(x^4 - 4x^2 + 4) - 5 = 3x^4 - 12x^2 + 12 - 5 = 3x^4 - 12x^2 + 7\n]", "---", "### Abschluss:\n[\n\boxed{f(x^2 - 2) = 3x^4 - 12x^2 + 7}\n]", "---", "### SEO-Schlüsselwörter & Tags: \nFunktionstheorie #Umkehrfunktion #Mathematik Beispiele #Meisterformel #Algebra #Polynome #Funktionswert #$f(x^2+2)$ #$f(x^2-2)$ #Schrittweise Lösungsweg\nMatheLernen #Berechnungsschritte #Lernhilfe #Schularbeit #Funktion $f$", "---", "### Tipp:\nDurch das Ersetzen der Variablen und algebraische Umformung lässt sich jede Funktion mit quadratischer Eingabe elegant umkehren – perfekt zum Üben und Vertiefen!", "---", "1215 Besuchers/Stunden | 51ikanäle Wissenswertes in klaren Schritten\nBleib mathematisch fit – mit präzisen Umrechnungen und cleveren Einsichten!", "---", "Dieser Artikel antwortet auf die Frage: Gegeben ( f(x^2 + 2) = 3x^4 + 12x^2 + 7 ), finde ( f(x^2 - 2) ) durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich."]
