Ein rechteckiger Garten ist 20 Meter lang und 15 Meter breit. Um ihn einzäumen, wird ein gleich breiter Weg entlang der Innenkante des Umfangs angebracht, der die bepflanzte Fläche auf 240 m² reduziert. Wie breit ist der Weg?
["Ein rechteckiger Garten mit Weg: Wie breit ist der gleich breite Randweg, wenn die bepflanzte Fläche auf 240 m² reduziert wird?", "Ein rechteckiger Garten von 20 Metern Länge und 15 Metern Breite bietet eine Fläche von insgesamt 300 m². Doch neben der offenen, gepflanzten Fläche bleibt ein gleich breiter Weg entlang der inneren Umfangsbegrenzung, der die nutzbare al nests reduziert. Konkret bleibt nur eine bepflanzte Fläche von 240 m², was bedeutet, dass der Weg 240 m² weniger einnimmt. Die Aufgabe lautet nun: Wie breit ist der gleich breite Weg entlang der Garteninnenkante?", "---", "### Geometrie verstehen: Der Weg reduziert die bepflanzte Fläche", "Da der Weg gleich breit an allen Seiten verläuft, verkleinert er das bepflanzte Areal, weil er im Inneren den Pflanzen wachsende Fläche entzieht. Der ursprüngliche Garten misst 20 m Länge und 15 m Breite. Wenn der Weg der Breite x Meter breit ist, dann bleiben innerhalb des Weges:", "- Länge des bepflanzten Bereichs: ( 20 - 2x ) Meter\n- Breite des bepflanzten Bereichs: ( 15 - 2x ) Meter", "Die bepflanzte Fläche ist daher:\n[\n(20 - 2x)(15 - 2x) = 240\n]", "---", "### Die Gleichung aufstellen und lösen", "Multiplizieren wir die Terme aus:\n[\n(20 - 2x)(15 - 2x) = 300 - 40x - 30x + 4x^2 = 240\n]\n[\n4x^2 - 70x + 300 = 240\n]\nBringen wir alles auf eine Seite:\n[\n4x^2 - 70x + 60 = 0\n]", "Teilen wir die Gleichung durch 2 zur Vereinfachung:\n[\n2x^2 - 35x + 30 = 0\n]", "Nun lösen wir diese quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:\n[\nx = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\n]\nmit ( a = 2 ), ( b = -35 ), ( c = 30 ):\n[\nx = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30}}{2 \cdot 2} = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 240}}{4} = \frac{35 \pm \sqrt{985}}{4}\n]", "Da ( \sqrt{985} \approx 31,4 ), erhalten wir zwei Näherungen:\n[\nx_1 \approx \frac{35 + 31,4}{4} = \frac{66,4}{4} = 16,6 \quad \ ext{(zu groß, da Weg muss kleiner sein als Hälfte der kürzeren Seite)}\n]\n[\nx_2 \approx \frac{35 - 31,4}{4} = \frac{3,6}{4} = 0,9\n]", "---", "### Ergebnis: Die Wegbreite beträgt 0,9 Meter", "Der gleich breite Weg außen verläuft und die bepflanzte Fläche auf 240 m² reduziert, muss 9 cm (0,9 m) breit sein. Damit ergibt sich ein innerer, bepflanzter Bereich von ( (20 - 1,8) = 18,2, \ ext{m} ) Länge und ( (15 - 1,8) = 13,2, \ ext{m} ) Breite — Flächeninhalt: ( 18,2 \ imes 13,2 = 240,24 , \ ext{m}^2 ),rundum verwirrt? → Durch Rundung stimmen Wert und Flächenberechnung überein.", "---", "### Fazit", "Ein rechteckiger Garten von 20 m × 15 m mit 240 m² bepflanzter Fläche – hinter einem gleich breiten Innenringweg – weist eine Wegbreite von exakt 9 cm auf. Dieses solche homogene Design sorgt nicht nur für optische Harmonie, sondern erleichtert auch Pflege und Nutzbarkeit des Gartens.", "Suchbegriffe: rechteckiger Garten Wegbreite, gleich breiter Gardenweg berechnen, Garteninnenseite Wegberechnung, Fläche nach Wegreduzierung, Garten trotz Weg nutzbare Fläche, gekleisterter Weg Breite rechteckiger Garten", "---", "Optimale Breite des Weges: 9 cm (0,09 m) – passend zu städtebaulichen Vorgaben, kosmetischer Abgrenzung und praktischer Pflege."]
