Erweitern: \( 300 - 40x - 30x + 4x^2 = 240 \) → \( 4x^2 - 70x + 300 = 240 \) → \( 4x^2 - 70x + 60 = 0 \).

["Erweitern, Lösen & Verstehen: Die quadratische Gleichung ( 4x^2 - 70x + 60 = 0 ) vollständig erweitern", "Wenn man mit quadratischen Gleichungen arbeitet, ist das systematische Erweitern der Gleichung der erste und wichtigste Schritt zur Lösung. Eines der bekanntesten Beispiele ist die Gleichung:", "[\n300 - 40x - 30x + 4x^2 = 240\n]", "Diese Gleichung bietet eine hervorragende Gelegenheit, das Erweitern, Zusammenfassen gleicher Terme und anschließende Lösen einer quadratischen Gleichung Schritt für Schritt zu erklären. In diesem Artikel zeigen wir, wie man diese Umformung korrekt durchführt und wie man daraus zur gegebenen quadratischen Gleichung gelangt.", "---", "## Was bedeutet „erweitern“ in diesem Kontext?", "Das Wort erweitern bedeutet hier, die rechte Seite (240) auf die linke Seite (300 – 40x – 30x + 4x²) umzustellen, um die Gleichung in eine standardisierte Form zu bringen:", "[\n4x^2 - 40x - 30x + 300 = 240\n]", "Kombiniert ergibt das:", "[\n4x^2 - 70x + 300 = 240\n]", "Dieser Schritt ist entscheidend, denn nur in standardisierter Form (meist als ( ax^2 + bx + c = 0 )) kann man die weiteren Lösungsmethoden anwenden, wie die Mitternachtsformel oder Vervollständigung des Quadrats.", "---", "## Schritt 1: Gleichung vereinfachen", "Ausgehend von:", "[\n300 - 40x - 30x + 4x^2 = 240\n]", "Fassen wir die linearen Terme zusammen:", "[\n40x + 30x = 70x\n]", "Jetzt wird die Gleichung zu:", "[\n4x^2 - 70x + 300 = 240\n]", "---", "## Schritt 2: Alle Terme auf eine Seite bringen", "Um die Gleichung in die Standardform eines quadratischen Gleichungssystems zu bringen, subtrahieren wir 240 von beiden Seiten:", "[\n4x^2 - 70x + 300 - 240 = 0\n]", "[\n4x^2 - 70x + 60 = 0\n]", "---", "## Die endgültige quadratische Gleichung", "Das Ergebnis dieser Erweiterung lautet:", "[\n\boxed{4x^2 - 70x + 60 = 0}\n]", "Diese quadratische Gleichung in der Standardform ( ax^2 + bx + c = 0 ) ist nun bereit zur Lösung – sei es durch Faktorisieren, die quadratische Regel oder grafisch.", "---", "## Weitere Schritte: Lösen der Gleichung", "Obwohl das erweiterte und vereinfachte Format übersichtlich ist, kann die Gleichung nicht immer leicht faktorisiert werden. Hier ein kurzer Überblick über mögliche Lösungswege:", "1. Mitternachtsformel (abc-Rechnung)\n Mit ( a = 4 ), ( b = -70 ), ( c = 60 ) berechnet man die disruptiven Lösungen:\n [\n x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\n ]", "2. Vervollständigung des Quadrats\n Möglichkeit, die Gleichung umzuformen, um die Nullstellen durch Wurzelziehen zu finden.", "3. Numerische Methoden\n Falls die Faktorisierung komplex wird, bieten Näherungsverfahren wie das Newton-Raphson-Verfahren schnelle Ergebnisse.", "---", "## Warum ist die Erweiterung so wichtig?", "Das Erweitern ist meist der erste kritische Schritt, da ohne alle Terme auf eine Seite gebracht und die rechten und linken Seiten klar gegenübergestellt sind, keine weitergehende Analyse möglich ist. Es verhindert Fehlinterpretationen und legt den Grundstein für eine genaue Systematik bei der Lösung quadratischer Gleichungen.", "---", "## Fazit", "Die Umformung von:", "[\n300 - 40x - 30x + 4x^2 = 240\n]", "zu", "[\n4x^2 - 70x + 60 = 0\n]", "ist mehr als nur eine Umstellung: Es ist die innovationsnotwendige Erweiterung, die quadratische Gleichungen greifbar macht und die Anwendung von Lösungsmethoden ermöglicht. Mit dieser klaren, step-by-step Erweiterung wird nicht nur die richtige Form gewonnen, sondern auch das Verständnis für die Gesamtsituation gestärkt.", "---", "Keywords:\nquadratische Gleichung erweitern, 4x² - 70x + 60 = 0, linear zusammenfassen, Mitternachtsformel, Gleichung vereinfachen, quadratische Gleichung lösen", "Meta Title:\nErweitere quadratische Gleichung: Schritt-für-Schritt zur Lösung von (4x^2 - 70x + 60 = 0)", "Meta Description:\nErfahren Sie, wie man die Gleichung ( 300 - 40x - 30x + 4x^2 = 240 ) korrekt zu ( 4x^2 - 70x + 60 = 0 ) erweitert – für eine klare Lösung von quadratischen Gleichungen.", "---", "Wenn Sie tiefer in die Mathematik eintauchen möchten, informieren wir Sie gerne auch über spezielle Lösungsstrategien oder Anwendungsbeispiele!"]