La ganancia \( P \) de una compañía en miles de dólares se modela por \( P(x) = -2x^2 + 12x - 16 \), donde \( x \) es el número de productos vendidos en cientos. Encuentra el número de productos vendidos para maximizar la ganancia.

["Maximiza la Ganancia de una Compañía: Una Modelización Matemática", "En el mundo empresarial, maximizar la ganancia es uno de los objetivos fundamentales para asegurar el éxito y la sostenibilidad de una compañía. En este artículo, exploramos cómo modelar y encontrar el número óptimo de unidades vendidas para maximizar las ganancias mediante el uso de funciones cuadráticas.", "### Modelo de Ganancia Cuadrática", "El modelo dado es:", "[\nP(x) = -2x^2 + 12x - 16\n]", "donde:\n- ( P(x) ) es la ganancia en miles de dólares,\n- ( x ) representa el número de productos vendidos en cientos (es decir, ( x \in \mathbb{R} )).", "Esta función es una parábola que abre hacia abajo (porque el coeficiente de ( x^2 ) es negativo), lo que indica que la curva tiene un pico —es decir, existe un valor máximo de ganancia.", "### Cómo encontrar el valor de ( x ) que maximiza ( P(x) )", "Para funciones cuadráticas de la forma ( P(x) = ax^2 + bx + c ), el valor máximo o mínimo ocurre en el vértice de la parábola. La fórmula para el valor de ( x ) en el vértice es:", "[\nx = -\frac{b}{2a}\n]", "En nuestro caso:\n- ( a = -2 )\n- ( b = 12 )", "Sustituyendo:", "[\nx = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3\n]", "### Interpretación del resultado", "El valor ( x = 3 ) representa el número de productos vendidos en cientos. Por lo tanto, se deben vender 300 productos para maximizar la ganancia.", "### Cálculo de la ganancia máxima (opcional)", "Para completar el análisis, podemos sustituir ( x = 3 ) en la función original:", "[\nP(3) = -2(3)^2 + 12(3) - 16 = -2(9) + 36 - 16 = -18 + 36 - 16 = 2\n]", "La ganancia máxima es 2 mil dólares (es decir, $2,000), alcanzada al vender 300 unidades.", "### Conclusión", "Maximizar la ganancia mediante una función cuadrática permite a las empresas tomar decisiones basadas en datos y tendencias. Utilizando el modelo ( P(x) = -2x^2 + 12x - 16 ), se identifica que vender 300 productos produce el máximo beneficio, demostrando cómo las herramientas matemáticas son esenciales para la toma de decisiones rentables.", "---", "Si deseas optimizar tus ventas y ganancias, recuerda que la clave está en modelar correctamente tus ingresos y costos. ¡La teoría se convierte en acción con la precisión de las matemáticas!"]