La somme des \( n \) premiers termes d’une suite arithmétique est donnée par \( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \). Si \( a = 3 \), \( d = 2 \), et \( S_n = 105 \), trouver \( n \).

["Titre : Comment calculer le nombre de termes ( n ) d’une suite arithmétique quand on connaît la somme ( S_n = 105 ), avec un premier terme ( a = 3 ) et une raison ( d = 2 )", "---", "### Introduction", "Dans les suites arithmétiques, la somme des ( n ) premiers termes est un outil essentiel pour résoudre de nombreux problèmes scolaires et pratiques. La formule classique pour calculer cette somme est :", "[\nS_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n - 1)d \right)\n]", "Ici, ( a ) est le premier terme, ( d ) la raison, et ( n ) le nombre de termes recherché. Dans cet article, nous allons illustrer pas à pas comment déterminer ( n ) à partir des valeurs données : ( a = 3 ), ( d = 2 ) et ( S_n = 105 ).", "---", "### Étape 1 : Poser l’équation avec les valeurs données", "On remplace chaque variable dans la formule par les valeurs connues :", "[\n105 = \frac{n}{2} \left(2 \ imes 3 + (n - 1) \ imes 2 \right)\n]", "Évoluons cette expression étape par étape.", "---", "### Étape 2 : Simplifier l’expression", "Premièrement, calculons les termes à l’intérieur des parenthèses :", "[\n2 \ imes 3 = 6 \quad \ ext{et} \quad (n - 1) \ imes 2 = 2n - 2\n]", "En les additionnant :", "[\n6 + 2n - 2 = 2n + 4\n]", "La formule devient :", "[\n105 = \frac{n}{2} (2n + 4)\n]", "---", "### Étape 3 : Simplifier davantage", "Factorisons ( 2n + 4 ) par 2 :", "[\n105 = \frac{n}{2} \ imes 2(n + 2) \Rightarrow 105 = n(n + 2)\n]", "On obtient donc l’équation quadratique :", "[\nn^2 + 2n = 105\n]", "---", "### Étape 4 : Mettre sous forme standard", "Remplaçons 105 par 105 pour obtenir une équation du second degré :", "[\nn^2 + 2n - 105 = 0\n]", "---", "### Étape 5 : Résoudre l’équation quadratique", "Utilisons la formule quadratique :\nPour une équation ( ax^2 + bx + c = 0 ), les solutions sont :", "[\nn = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\n]", "Ici, ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -105 ). Calculons le discriminant :", "[\n\Delta = 2^2 - 4(1)(-105) = 4 + 420 = 424\n]", "Donc,", "[\nn = \frac{-2 \pm \sqrt{424}}{2}\n]", "Simplifions ( \sqrt{424} ) :", "[\n\sqrt{424} = \sqrt{4 \ imes 106} = 2\sqrt{106}\n]", "Ainsi :", "[\nn = \frac{-2 \pm 2\sqrt{106}}{2} = -1 \pm \sqrt{106}\n]", "Comme ( \sqrt{106} \approx 10,3 ), on a :", "[\nn \approx -1 + 10,3 = 9,3 \quad \ ext{ou} \quad n \approx -1 - 10,3 = -11,3\n]", "Puisque ( n ) doit être un entier positif, la seule solution pertinente est celle proche de 9,3.", "Testons ( n = 9 ) :", "[\nS_9 = \frac{9}{2} \left(2 \ imes 3 + (9 - 1) \ imes 2 \right) = \frac{9}{2} (6 + 16) = \frac{9}{2} \ imes 22 = 99\n]", "beträgt 99, ce qui est inférieur à 105.", "Testons ( n = 10 ) :", "[\nS_{10} = \frac{10}{2} \left(2 \ imes 3 + (10 - 1) \ imes 2 \right) = 5 \ imes (6 + 18) = 5 \ imes 24 = 120\n]", "120 est supérieur à 105.", "Conclusion intermédiaire :\nLa valeur 105 n’est pas atteinte exactement pour un entier ( n ) dans cette suite — mais il semble y avoir une précision à vérifier.", "---", "### Étape 6 : Revenir à l’équation exacte", "Nous avions :", "[\nn(n + 2) = 105\n]", "Cherchons deux entiers consécutifs dont le produit est 105.", "Factorisons 105 : ( 105 = 3 \ imes 5 \ imes 7 = 7 \ imes 15 )\nProgressons par tâtonnement :", "- ( 9 \ imes 11 = 99 )\n- ( 10 \ imes 12 = 120 )\n- ( 7 \ imes 9 = 63 )\n- ( 8 \ imes 13 = 104 )\n- ( 8.5 \ imes 12.35... )\nAucun entier ne donne 105 directement.", "Mais revenons à l’équation :", "[\nn^2 + 2n - 105 = 0\n]", "Testons ( n = 9 ) : ( 81 + 18 - 105 = -6 )\n( n = 10 ) : ( 100 + 20 - 105 = 15 )\nPas de racine entière, mais le problème demande de « trouver ( n ) » quand ( S_n = 105 ), sous les données ( a=3 ), ( d=2 ).", "Or, la somme ( S_n = 105 ) n’est pas réalisable pour un entier ( n ) dans cette suite.", "---", "### Correction et reformulation du problème", "Supposons que la somme soit exactement 105, avec ( a=3 ), ( d=2 ). Même si ( n ) n’est pas entier, la démarche reste valide pour trouver la solution théorique — ou identifier une éventuelle incohérence.", "— La solution exacte de ( n^2 + 2n - 105 = 0 ) est :", "[\nn = \frac{-2 + \sqrt{424}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{106}}{2} = -1 + \sqrt{106}\n]", "Environ ( \sqrt{106} \approx 10,2956 ), donc ( n \approx 9,2956 ) — ce qui n’est pas un entier.", "Cela signifie que il n’existe aucun entier ( n ) pour lequel la somme des ( n ) premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme 3 et raison 2 est exactement 105.", "Mais l’exercice vise à maîtriser la formule, pas uniquement à trouver un entier.", "---", "### Conclusion et conseils pratiques", "Pour résoudre ce genre de problème :", "1. Formuler correctement la somme avec la formule :\n [\n S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\n ]\n2. Substituer les valeurs données.\n3. Simplifier l’expression pour obtenir une équation quadratique.\n4. Résoudre l’équation, puis vérifier que la solution est un entier naturel.\n5. Si pas d’entier, expliquer que la valeur souhaitée n’est pas réalisable dans ce cadre — mais analyser la courbe quadratique pour situer la solution approchée.", "Ici, bien que ( S_n = 105 ) ne corresponde à aucun entier ( n ) pour ( a=3 ), ( d=2 ), la démarche illustre l’utilisation puissante de la formule de la somme.", "---", "### Résumé final", "- La somme des ( n ) premiers termes : ( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) )\n- Pour ( a=3 ), ( d=2 ), on obtient : ( S_n = \frac{n}{2}(6 + 2(n-1)) = \frac{n}{2}(2n + 4) = n(n+2) )\n- On cherche ( n ) tel que ( n(n+2) = 105 \Rightarrow n^2 + 2n - 105 = 0 )\n- La solution est ( n = -1 + \sqrt{106} \approx 9,295 ), non entier", "→ Conclusion : Il n’existe pas d’entier ( n ) permettant d’avoir ( S_n = 105 ) avec ( a=3 ), ( d=2 ). Ce cas sert d’exemple pour appliquer la formule, mais souligne l’importance de la validité des résultats.", "---", "### Pour aller plus loin", "Utilisez un tableau des sommes partielles pour explorer d’autres valeurs de ( n ) :", "| ( n ) | ( S_n = n(n+2) ) |\n|--------|--------------------|\n| 1 | 3 |\n| 2 | 8 |\n| 3 | 15 |\n| 4 | 24 |\n| 5 | 35 |\n| 6 | 48 |\n| 7 | 63 |\n| 8 | 80 |\n| 9 | 99 |\n| 10 | 120 |", "→ On constate que ( S_n = 99 ) (at ( n=9 )) et ( S_n = 120 ) (at ( n=10 )), donc 105 n’est jamais atteint.", "---", "### Mots-clés SEO\n- Somme des termes d'une suite arithmétique\n- Formule de la somme ( S_n )\n- Trouver ( n ) à partir de ( S_n = 105 )\n- Suite arithmétique calcul de ( S_n )\n- Résolution équation quadratique suite arithmétique", "---", "> ✅ Terme clé à retenir : Même si un calcul donne une solution non entière, comprendre le cadre mathématique permet de mieux modéliser des problèmes dans les suites, encore que dans ce cas, la valeur 105 ne corresponde à aucune somme partielle entière de cette suite.", "---", "N’hésitez pas à utiliser cette méthode pour tester d’autres valeurs de ( S_n ) et approfondir votre maîtrise des suites arithmétiques en algèbre !**"]