Lösung: Wir wissen, dass \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta\). Somit ist \(\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ\). Unter Verwendung des bekannten Wertes \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), finden wir \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Daher ist die Antwort \(\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\).

["Verstehen der Kosinus-Differenzformel: (\cos(180^\circ - \ heta) = -\cos \ heta)", "Die trigonometrische Identität", "[\n\cos(180^\circ - \ heta) = -\cos \ heta\n]", "ist ein zentrales Werkzeug in der Trigonometrie und ermöglicht das Berechnen von Kosinuswerten für Winkel, die sich von bekannten Standardwinkeln ableiten lassen. Ein häufiges Anwendungsbeispiel zeigt sich bei der Berechnung des Kosinus von (150^\circ), was uns die praktische Anwendung dieser Identität anschaulich macht.", "### Herleitung der Formel", "Der Ausdruck (\cos(180^\circ - \ heta)) beschreibt den Kosinus eines Winkels, der im zweiten Quadranten liegt und symmetrisch zum Einheitskreiswinkel (\ heta) ist. Aufgrund der Spiegelung entlang der x-Achse kehrt sich das Vorzeichen des Kosinus um, daher die Formel:", "[\n\cos(180^\circ - \ heta) = -\cos \ heta\n]", "Diese Beziehung gilt für beliebige Winkel (\ heta) und vereinfacht Vieleinschätzungen trigonometrischer Werte.", "### Anwendung auf den Wert (\cos 150^\circ)", "Setzen wir (\ heta = 30^\circ) in die Identität ein:", "[\n\cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ\n]", "Da (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}) bekannt ist, folgt direkt:", "[\n\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\n]", "### Bedeutung und Nutzen", "Dieser Ansatz erlaubt eine schnelle und exakte Berechnung von Winkeln mit dem Kosinus, die außerhalb der Standardwerte liegen, ohne Taschenrechner oder Tabellen verwenden zu müssen. Besonders in Physik, Ingenieurwesen und Navigation spielt diese Umformung eine wichtige Rolle für genaue Berechnungen in Dreiecken, Wellenphänomenen oder Bewegungsanalysen.", "### Fazit", "Die Kenntnis der Identität (\cos(180^\circ - \ heta) = -\cos \ heta) vereinfacht trigonometrische Umrechnungen und liefert einen eleganten Weg, Kosinuswerte für Scheinwinkel zu ermitteln. Für (\cos 150^\circ) ergibt sich somit mühelos", "[\n\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\n]", "Dieses Ergebnis ist ein microbeispiel für die Kraft geometrisch fundierter trigonometrischer Identitäten."]