Pregunta: En un triángulo rectángulo, el ángulo agudo $ \theta $ satisface $ \sin \theta = \frac{3}{5} $. ¿Cuál es el valor de $ \tan(2\theta) $?

["Pregunta: En un triángulo rectángulo, el ángulo agudo $ \ heta $ satisface $ \sin \ heta = \frac{3}{5} $. ¿Cuál es el valor de $ \ an(2\ heta) $?", "En trigonometría, calcular funciones angulares como $ \ an(2\ heta) $ a partir del valor de $ \sin \ heta $ es un tema común en geometría y resolución de triángulos. En este artículo, exploraremos cómo encontrar $ \ an(2\ heta) $ cuando conocemos $ \sin \ heta = \frac{3}{5} $, usando identidades trigonométricas y propiedades de triángulos rectángulos.", "---", "### Paso 1: Usar la definición de seno para construir el triángulo", "Dado que $ \sin \ heta = \frac{3}{5} $, en un triángulo rectángulo, esto significa que el lado opuesto al ángulo $ \ heta $ es 3 unidades, mientras que la hipotenusa mide 5 unidades. Con esto, podemos hallar el lado adyacente mediante el teorema de Pitágoras:", "[\n\ ext{lado opuesto} = 3, \quad \ ext{hipotenusa} = 5 \quad \Rightarrow \quad \ ext{adyacente} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\n]", "Entonces, para el ángulo $ \ heta $:", "[\n\sin \ heta = \frac{3}{5}, \quad \cos \ heta = \frac{4}{5}\n]", "---", "### Paso 2: Usar la fórmula de la tangente doble", "La identidad trigonométrica para $ \ an(2\ heta) $ es:", "[\n\ an(2\ heta) = \frac{2 \ an \ heta}{1 - \ an^2 \ heta}\n]", "Pero también existe otra fórmula útil que sólo requiere $ \sin \ heta $ y $ \cos \ heta $:", "[\n\ an(2\ heta) = \frac{2 \sin \ heta \cos \ heta}{ \cos^2 \ heta - \sin^2 \ heta }\n]", "Sustituimos los valores encontrados:", "[\n\ an(2\ heta) = \frac{2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5}}{ \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 } = \frac{2 \cdot \frac{12}{25}}{ \frac{16}{25} - \frac{9}{25} } = \frac{\frac{24}{25}}{ \frac{7}{25} } = \frac{24}{7}\n]", "---", "### Paso 3: Confirmación con ángulos (opcional)", "También podemos encontrar $ \ heta $ y luego calcular $ 2\ heta $. Sabemos que $ \sin \ heta = \frac{3}{5} $, así que:", "[\n\ heta = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \approx 36.87^\circ \quad \Rightarrow \quad 2\ heta \approx 73.74^\circ\n]", "Calculamos $ \ an(73.74^\circ) \approx 3.43 $, y como $ \frac{24}{7} \approx 3.4286 $, la coincidencia confirma nuestro cálculo.", "---", "### Conclusión", "Cuando $ \ heta $ es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo tal que $ \sin \ heta = \frac{3}{5} $, el valor de $ \ an(2\ heta) $ es exactamente:", "[\n\ an(2\ heta) = \frac{24}{7}\n]", "Este resultado combina el uso de triángulos pitagóricos y identidades trigonométricas para resolver problemas de triángulos rectángulos con precisión. Es una herramienta fundamental en geometría y álgebra, y apprende de manera clara cómo transformar una relación sencilla en una expresión trigonométrica más compleja.", "---", "Palabras clave:\nsin θ = 3/5, triángulo rectángulo, tangente doble, trigonometría, cálculo de ángulos, identidades trigonométricas, geometría, matemáticas, resolución de triángulos."]