Pregunta: Un triángulo tiene lados $ 13 $, $ 14 $ y $ 15 $. ¿Cuál es la longitud de la altitud más corta?
["Pregunta: Un triángulo tiene lados $ 13 $, $ 14 $ y $ 15 $. ¿Cuál es la longitud de la altitud más corta?", "Un triángulo con lados de longitudes $13$, $14$ y $15$ no solo es un ejemplo clásico en geometría, sino que también presenta propiedades interesantes que lo hacen ideal para calcular las altitudes y encontrar la más corta. En este artículo, exploramos cómo determinar la longitud de la altitud más corta en este triángulo y cuál es su valor exacto.", "### ¿Por qué es importante calcular la altitud más corta?", "En un triángulo, la altitud es la distancia perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto. La altitud más corta corresponde al lado más largo, ya que el área del triángulo es constante y la altitud es inversamente proporcional a la longitud del lado base. Por ende, para encontrar la altitud más corta, debemos calcular las alturas respecto a cada uno de los tres lados y elegir la más pequeña.", "---", "### Paso 1: Calcular el área del triángulo con la fórmula de Herón", "Dados los lados $ a = 13 $, $ b = 14 $, $ c = 15 $. Primero calculamos el semiperímetro $ s $:", "[\ns = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\n]", "Luego, aplicamos la fórmula de Herón para el área $ A $:", "[\nA = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \ imes 8 \ imes 7 \ imes 6}\n]", "Calculamos:", "[\n21 \ imes 8 = 168,\quad 7 \ imes 6 = 42,\quad 168 \ imes 42 = 7056\n]", "[\nA = \sqrt{7056} = 84\n]", "Entonces, el área del triángulo es $ 84 $ unidades cuadradas.", "---", "### Paso 2: Calcular las alturas correspondientes a cada lado", "La fórmula para la altura $ h $ relativa a un lado es:", "[\nh = \frac{2A}{\ ext{lado}}\n]", "Entonces:", "- Altura relativa al lado $13$:", "[\nh_{13} = \frac{2 \ imes 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12.923\n]", "- Altura relativa al lado $14$:", "[\nh_{14} = \frac{168}{14} = 12\n]", "- Altura relativa al lado $15$:", "[\nh_{15} = \frac{168}{15} = 11.2\n]", "---", "### Paso 3: Identificar la altitud más corta", "Comparando los valores:", "- $ h_{13} \approx 12.923 $\n- $ h_{14} = 12 $\n- $ h_{15} = 11.2 $", "La altitud más corta es la que corresponde al lado más largo, es decir, el lado de 15 unidades.", "---", "### Conclusión", "Para un triángulo con lados $13$, $14$ y $15$, el área es $84$, y la altitud más corta mide exactamente $ \dfrac{168}{15} = 11.2 $. Esta longitud representa la distancia más breve desde un vértice hasta el lado opuesto (específicamente el de 15 unidades), y es, por tanto, la altitud más corta del triángulo.", "---", "Palabras clave recomendadas para SEO:\naltura en un triángulo, área triángulo 13-14-15, altitud más corta, cálculo altitud triángulo, geometría triángulos, fórmula de Herón, longitud altitud, triángulo de lados 13-14-15, altitud correspondiente a lado más largo", "---", "Si necesitas profundizar en cómo calcular altitudes o el área con la fórmula de Herón, este triángulo 13-14-15 sigue siendo uno de los ejemplos más enseñados por su elegante solución en geometría. La altitud más corta no solo es matemáticamente precisa, sino fundamental para entender proporciones y relaciones en figuras planas."]
