Resuelve el sistema de ecuaciones: \( 2x + 3y = 7 \) y \( 4x - y = 5 \).

["Resuelve el sistema de ecuaciones: ( 2x + 3y = 7 ) y ( 4x - y = 5 )", "Resolver un sistema de ecuaciones lineales es una tarea fundamental en álgebra que te permite encontrar los valores de las variables que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. En este artículo, aprenderemos paso a paso cómo resolver el sistema:", "[\n\begin{cases}\n2x + 3y = 7 \quad \ ext{(Ecuación 1)} \\n4x - y = 5 \quad \ ext{(Ecuación 2)}\n\end{cases}\n]", "---", "### Paso 1: Escoger un método para resolver el sistema", "Existen tres métodos principales: sustitución, eliminación e inferiorción. En este caso, usaremos el método de eliminación, que es práctico para este sistema.", "---", "### Paso 2: Alinear coeficientes para eliminar una variable", "Nuestro objetivo es eliminar una de las variables para despejarla. Observamos que el coeficiente de ( y ) en la Ecuación 1 es 3, y en la Ecuación 2 es -1. Podemos hacer que estos coeficientes sean opuestos multiplicando la Ecuación 2 por 3:", "[\n3 \cdot (4x - y) = 3 \cdot 5 \implies 12x - 3y = 15 \quad \ ext{(Ecuación 2 nueva)}\n]", "Ahora sumamos esta nueva ecuación a la Ecuación 1:", "[\n\begin{align}\n(2x + 3y) + (12x - 3y) &= 7 + 15 \\n14x &= 22 \\nx &= \frac{22}{14} = \frac{11}{7}\n\end{align}\n]", "---", "### Paso 3: Sustituir ( x ) para hallar ( y )", "Ya tenemos que ( x = \frac{11}{7} ). Sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar ( y ). Usamos la Ecuación 2 porque tiene un coeficiente sencillo para ( y ):", "[\n4\left(\frac{11}{7}\right) - y = 5\n]", "Multiplicamos:", "[\n\frac{44}{7} - y = 5\n]", "Despejamos ( y ):", "[\n-y = 5 - \frac{44}{7} = \frac{35}{7} - \frac{44}{7} = -\frac{9}{7}\n]", "Por lo tanto:", "[\ny = \frac{9}{7}\n]", "---", "### Paso 4: Verificar la solución", "Para asegurarnos, sustituimos ( x = \frac{11}{7} ) y ( y = \frac{9}{7} ) en ambas ecuaciones:", "Ecuación 1:\n( 2\left(\frac{11}{7}\right) + 3\left(\frac{9}{7}\right) = \frac{22}{7} + \frac{27}{7} = \frac{49}{7} = 7 ) ✔️", "Ecuación 2:\n( 4\left(\frac{11}{7}\right) - \frac{9}{7} = \frac{44}{7} - \frac{9}{7} = \frac{35}{7} = 5 ) ✔️", "---", "### Resultado final", "La solución al sistema es:\n[\n\boxed{\n\begin{cases}\nx = \dfrac{11}{7} \\ny = \dfrac{9}{7}\n\end{cases}\n}\n]", "Resolver este sistema demuestra cómo combinar ecuaciones lineales mediante operaciones algebraicas para encontrar valores exactos de ( x ) y ( y ). Esto es clave en aplicaciones prácticas como optimización, física y economía, donde modelar relaciones entre variables es esencial.", "---", "Palabras clave: resolver sistema de ecuaciones, método de eliminación, ecuación 2x + 3y = 7, ecuación 4x - y = 5, álgebra lineal, solución algebraica, demostración paso a paso.", "---", "Si necesitas resolver más sistemas o profundizar en técnicas avanzadas, consulta artículos relacionados sobre ecuaciones simultáneas, grafificación y métodos matriciales. ¡Sigue practicando y mejorarás tus habilidades matemáticas!"]