Si la suma de los primeros \( n \) términos de una secuencia aritmética se da por \( S_n = 3n^2 + 5n \), encuentra el décimo término de la secuencia.
["Cómo encontrar el décimo término de una secuencia aritmética usando la fórmula de la suma ( S_n = 3n^2 + 5n )", "Cuando se conoce la suma de los primeros ( n ) términos de una secuencia aritmética, es posible determinar fácilmente términos individuales de la secuencia. En este artículo exploraremos cómo, utilizando la fórmula dada:\n[ S_n = 3n^2 + 5n ]\ndonde ( S_n ) representa la suma de los primeros ( n ) términos, y buscaremos encontrar el décimo término ( a_{10} ).", "---", "### ¿Qué es una secuencia aritmética?", "Una secuencia aritmética es una lista de números donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, llamada diferencia común ( d ). El ( n )-ésimo término general se expresa como:\n[ a_n = a_1 + (n-1)d ]\ndonde ( a_1 ) es el primer término y ( d ) es la diferencia común.", "---", "### Relación entre la suma y el término general", "La suma de los primeros ( n ) términos se define como:\n[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) ]\nPero también se nos da:\n[ S_n = 3n^2 + 5n ]", "Como ambas expresiones representan ( S_n ), podemos igualarlas:\n[ \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) = 3n^2 + 5n ]", "Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar el denominador:\n[ n \left( 2a_1 + (n-1)d \right) = 6n^2 + 10n ]", "Desarrollamos el lado izquierdo:\n[ n(2a_1 + dn - d) = 6n^2 + 10n ]\n[ 2a_1 n + dn^2 - dn = 6n^2 + 10n ]", "Agrupamos términos por potencias de ( n ):\n[ dn^2 + (2a_1 - d)n = 6n^2 + 10n ]", "Como esta igualdad debe valer para todo ( n ), podemos igualar coeficientes de potencias similares:", "1. Coeficiente de ( n^2 ):\n[ d = 6 ]", "2. Coeficiente de ( n ):\n[ 2a_1 - d = 10 ]\nSustituyendo ( d = 6 ):\n[ 2a_1 - 6 = 10 ]\n[ 2a_1 = 16 ]\n[ a_1 = 8 ]", "---", "### Encontrar el décimo término", "Ahora que sabemos ( a_1 = 8 ) y ( d = 6 ), aplicamos la fórmula general del término ( n )-ésimo:\n[ a_n = a_1 + (n-1)d ]\nPara ( n = 10 ):\n[ a_{10} = 8 + (10 - 1) \cdot 6 ]\n[ a_{10} = 8 + 9 \cdot 6 ]\n[ a_{10} = 8 + 54 = 62 ]", "---", "### Conclusión", "Dada la suma de los primeros ( n ) términos de la secuencia aritmética con fórmula ( S_n = 3n^2 + 5n ), el décimo término es:\n( a_{10} = 62 )", "Esta técnica, que utiliza la relación entre la suma y el término general, es una herramienta poderosa para encontrar valores específicos en secuencias aritméticas sin necesidad de calcular todos los términos previos.", "---\n¿Quieres aprender más sobre fórmulas de sumas y términos en secuencias aritméticas? Consulta nuestras guías sobre progresiones aritméticas y métodos para deducir términos generales."]
