Un train voyage de la ville A à la ville B, une distance de 300 miles. Il parcourt la première moitié à 60 mph et la seconde moitié à 90 mph. Quelle est la vitesse moyenne pour l’ensemble du trajet ?
["Un train parcourt 300 miles : une analyse de la vitesse moyenne sur deux segments distincts", "Lorsqu’un train effectue un trajet de 300 miles entre une ville A et une ville B, la vitesse moyenne n’est pas simplement la moyenne arithmétique des deux vitesses, car chaque portion du voyage n’a pas duré le même temps. Comprendre comment calculer cette vitesse moyenne est essentiel aussi bien pour les voyageurs que pour les ingénieurs ferroviaires souhaitant optimiser les performances.", "---", "### Le trajet : 300 miles en deux étapes", "- Première moitié : 150 miles à une vitesse constante de 60 mph\n- Seconde moitié : 150 miles à une vitesse constante de 90 mph", "---", "### Étape 1 : calcul du temps pour chaque segment", "Pour un voyageur ou un ingénieur, calculer le temps passé sur chaque portion est fondamental :", "- Temps pour la première moitié :\n $ t_1 = \frac{\ ext{distance}}{\ ext{vitesse}} = \frac{150 \ ext{ miles}}{60 \ ext{ mph}} = 2,5 \ ext{ heures} $", "- Temps pour la seconde moitié :\n $ t_2 = \frac{150 \ ext{ miles}}{90 \ ext{ mph}} = \frac{5}{3} \ ext{ heures} \approx 1,67 \ ext{ heures} $", "---", "### Étape 2 : calcul du temps total", "$ t_{\ ext{total}} = t_1 + t_2 = 2,5 + 1,67 = 4,17 \ ext{ heures} $ (environ)", "---", "### Étape 3 : calcul de la vitesse moyenne", "La vitesse moyenne se définit par la distance totale divisée par le temps total :", "$$\nv_{\ ext{moyenne}} = \frac{\ ext{distance totale}}{\ ext{temps total}} = \frac{300 \ ext{ miles}}{4,17 \ ext{ h}} \approx 72 \ ext{ mph}\n$$", "---", "### Pourquoi la vitesse moyenne n’est pas 75 mph", "Même si on pourrait penser à faire la moyenne des deux vitesses :\n$ \frac{60 + 90}{2} = 75 \ ext{ mph} $", "Or, cette méthode ne tient pas compte du temps passé. En raison du train qui passe plus de temps sur le second tronçon plus rapide, la moyenne pondérée est inférieure à 75 mph, confirmant que la valeur exacte est d’environ 72 mph.", "---", "### En résumé", "| Étape | Distance | Vitesse | Temps (h) |\n|-------------------------|----------|---------|-----------------|\n| Première moitié (~150 mi)| 150 | 60 | 2,5 |\n| Seconde moitié (~150 mi) | 150 | 90 | 1,67 |\n| Temps total | 300 | – | 4,17 |\n| Vitesse moyenne | 300 | – | ≈ 72 mph |", "---", "### Conclusion", "Pour un trajet de 300 miles réalisé à 60 mph sur la première moitié et 90 mph sur la seconde, la vitesse moyenne réelle est d’environ 72 mph, résultat obtenue en calculant le temps total parcouru et en divisant la distance par ce temps. Cette approche précise permet d’évaluer efficacement la performance du trajet ferroviaire, au-delà d’une simple moyenne arithmétique.", "Comprendre ce calcul aide non seulement à mieux apprécier les voyage en train, mais aussi à planifier des horaires et optimiser les itinéraires dans le secteur ferroviaire."]
