Une équation quadratique \( ax^2 + bx + c = 0 \) a pour racines 3 et -2. Trouver les valeurs de \( a \), \( b \), et \( c \) si \( a = 1 \).
["Titre : Trouver les coefficients d'une équation quadratique à partir de ses racines : Équation ( ax^2 + bx + c = 0 ) avec racines 3 et -2, avec ( a = 1 )", "---", "### Introduction", "Dans l’étude des équations quadratiques, une question fréquente consiste à déterminer les coefficients ( a ), ( b ) et ( c ) à partir des racines connues. Une équation quadratique de la forme ( ax^2 + bx + c = 0 ) possède deux racines, ici notées 3 et -2. Grâce au théorème fondamental de l’algèbre, on sait que si ( p ) et ( q ) sont les racines, l’équation peut s’écrire sous la forme factorisée :", "[\na(x - p)(x - q) = 0\n]", "Dans ce cas, les racines sont ( p = 3 ) et ( q = -2 ), et on nous demande de trouver l’équation lorsque le coefficient dominant ( a = 1 ). Cet article explique pas à pas comment déterminer les coefficients ( a ), ( b ) et ( c ) pour une équation quadratique ayant exactement ces racines.", "---", "### Étape 1 : Utiliser les racines pour construire l’équation factorisée", "En substituant les racines dans la forme factorisée, on obtient :", "[\n(x - 3)(x + 2) = 0\n]", "Ce produit correspond à une équation quadratique dont les racines sont bien 3 et -2.", "---", "### Étape 2 : Développer l’expression", "Calculons maintenant le développement du produit :", "[\n(x - 3)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = x^2 + 2x - 3x - 6\n]", "En regroupant les termes, on obtient :", "[\nx^2 - x - 6\n]", "Ainsi, l’équation quadratique est :", "[\nx^2 - x - 6 = 0\n]", "---", "### Étape 3 : Identifier les coefficients ( a ), ( b ) et ( c )", "En comparant avec la forme générale ( ax^2 + bx + c = 0 ), on identifie directement les valeurs :", "- ( a = 1 )\n- ( b = -1 )\n- ( c = -6 )", "---", "### Étape 4 : Confirmer le solide des racines", "Les racines de l’équation ( x^2 - x - 6 = 0 ) sont bien ( x = 3 ) et ( x = -2 ), qu’on peut vérifier en calculant le discriminant ( \Delta = b^2 - 4ac ) :", "[\n\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 > 0\n]", "Le discriminant positif confirme deux racines réelles distinctes, ce qui est cohérent avec les valeurs trouvées.", "---", "### Conclusion", "Quand les racines d’une équation quadratique sont ( 3 ) et ( -2 ) et le coefficient dominant ( a = 1 ), l’équation s’écrit simplement :", "[\n\boxed{x^2 - x - 6 = 0}\n]", "Les coefficients sont donc :\n- ( a = 1 )\n- ( b = -1 )\n- ( c = -6 )", "Ce résultat illustre un lien direct entre les racines d’une équation et ses coefficients, un outil essentiel en algèbre et dans la résolution d’équations polynomiales.", "---", "### Mots-clés SEO associés :\néquation quadratique, racines de l’équation, formule factorisée, coefficients d’une équation quadratique, résoudre une équation quadratique, ( ax^2 + bx + c ), racines 3 et -2, trouver ( a ), ( b ), ( c ), discriminant équation quadratique", "---", "Restez à l’écoute pour plus de conseils sur la manipulation des équations quadratiques et leurs applications en mathématiques !"]
